Sécurité

Que sont les nombres premiers et pourquoi sont-ils si essentiels à la vie moderne ? – ExtrêmeTech

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Si vous avez obtenu votre diplôme d’études secondaires et que vous lisez cet article, vous savez probablement au moins ce qui suit sur les nombres premiers : les nombres premiers sont l’ensemble de tous les nombres qui ne peuvent être divisés de manière égale que par 1 et eux-mêmes, sans autre division paire. possible. Les nombres comme 2, 3, 5, 7 et 11 sont tous des nombres premiers. Ce que moins de gens savent, c’est pourquoi ces chiffres sont si importants et comment la logique mathématique qui les sous-tend a donné lieu à des applications vitales dans le monde moderne.

Voici quelque chose de cool à propos des nombres premiers : les mathématiciens ont montré qu’absolument n’importe quel nombre entier peut être exprimé comme un produit de nombres premiers, uniquement des nombres premiers et rien d’autre. Par exemple:

Pour obtenir 222, essayez 2 * 3 * 37

123 228 940 ? Pourquoi, c’est juste, 2 * 2 * 5 * 23 * 79 * 3391

arbre-facteur-48Cette règle, appelée règle de factorisation en nombres premiers, porte également un autre nom : le théorème fondamental de l’arithmétique. Cela a du sens quand on pense à ce que sont les nombres premiers, des nombres qui ne peuvent plus être séparés. Ainsi, alors que nous essayons de séparer n’importe quel nombre en deux nombres, puis de les séparer en deux nombres si possible, et ainsi de suite, il ne nous restera finalement que des nombres premiers.

Tout cela peut sembler n’être rien de plus qu’une étrange bizarrerie mathématique. Mais il devient important grâce à un simple fait supplémentaire : pour autant que les meilleurs mathématiciens et informaticiens aient pu le déterminer, il est totalement impossible de trouver une formule vraiment efficace pour factoriser de grands nombres en nombres premiers.

C’est-à-dire que nous ont façons de factoriser de grands nombres en nombres premiers, mais si nous essayons de le faire avec un nombre à 200 chiffres ou un nombre à 500 chiffres, en utilisant les mêmes algorithmes que nous utiliserions pour factoriser un nombre à 7 chiffres, le plus avancé au monde superordinateurs prend encore un temps absurde pour finir. Comme, des échelles de temps plus longues que la formation de la planète et, pour extrêmement grands nombres, plus longs que l’âge de l’univers lui-même.

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superordinateur titan

Il existe donc une limite fonctionnelle à la taille des nombres que nous pouvons factoriser en nombres premiers, et ce fait est absolument essentiel pour l’informatique moderne. Sécurité. À peu près tout ce que les ordinateurs peuvent facilement faire sans pouvoir facilement annuler intéressera la sécurité informatique. Les algorithmes de cryptage modernes exploitent le fait que nous pouvons facilement prendre deux grands nombres premiers et les multiplier ensemble pour obtenir un nouveau nombre super grand, mais qu’aucun ordinateur encore créé ne peut prendre ce nombre super grand et déterminer rapidement quels deux nombres premiers sont entrés. le faire.

Cette sécurité de niveau mathématique permet ce qu’on appelle la cryptographie à clé publique, ou chiffrement où nous n’avons pas à nous soucier de publier une clé à utiliser pour chiffrer les transmissions, car le simple fait d’avoir cette clé (un très grand nombre) n’aidera personne à annuler le chiffrement qu’elle a créé. Pour annuler le cryptage et lire le message, vous avez besoin des facteurs principaux de la clé utilisée pour le cryptage – et comme nous l’avons vu, ce n’est pas quelque chose que vous pouvez comprendre par vous-même.

Salle du sommet sur la sécurité

Cela nous permet de contourner le paradoxe central du chiffrement : comment communiquez-vous en toute sécurité les spécificités initiales nécessaires pour mettre en place une communication sécurisée en premier lieu ? Dans la cryptographie à clé publique, qui est l’épine dorsale du chiffrement informatique, nous pouvons contourner ce problème car les détails sur la façon d’entrer en contact sécurisé n’ont pas eux-mêmes besoin d’être sécurisés. Au contraire, les gens publient généralement des liens vers leurs clés publiques sur les réseaux sociaux, afin que le plus grand nombre de personnes possible puisse chiffrer les messages pour eux. Bien qu’il existe maintenant un certain nombre d’algorithmes de chiffrement qui exploitent la factorisation première, le plus important historiquement, et toujours le modèle conceptuel du domaine, s’appelle RSA.

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Qu’il s’agisse de communiquer les informations de votre carte de crédit à Amazon, de vous connecter à votre banque ou d’envoyer un e-mail crypté manuellement à un collègue, nous utilisons constamment le cryptage informatique. Et cela signifie que nous utilisons constamment des nombres premiers et que nous nous appuyons sur leurs propriétés numériques étranges pour protéger le mode de vie de l’ère cybernétique. Ce n’est pas une quête académique dénuée de sens, l’effort pour mieux comprendre les nombres premiers, puisque pratiquement toute la sécurité moderne repose sur les limites actuelles de cette compréhension.

Cela ne veut pas dire qu’il n’y a pas eu de progrès dans l’affacturage des grands nombres. En 2009, des chercheurs ont mis en réseau plusieurs centaines d’ordinateurs et ont passé l’équivalent d’environ 2 000 ans pour un seul ordinateur, en utilisant des algorithmes de factorisation avancés pour factoriser le nombre « RSA-768 » – c’est-à-dire un nombre à 232 chiffres mis en place par le Le groupe RSA comme enjeu d’affacturage. Prouver qu’il était possible de casser le cryptage 768 bits dans des échelles de temps non universelles est inacceptable pour le monde de la sécurité, bien sûr, et donc la norme est maintenant passée à RSA-1024, en utilisant des nombres à 309 chiffres.

tête de cryptage

Le cryptage 1024 bits devrait toujours être à l’abri de quiconque n’est pas en possession d’une machine à voyager dans le temps, pour autant que nous le sachions – bien que les rumeurs abondent sur Internet de projets informatiques quantiques secrets à la NSA ou ailleurs, ceux qui peuvent mâcher même 2048- cryptage bit comme si ce n’était rien. Il n’y a absolument aucune preuve qu’une telle chose existe, cependant.

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Les nombres premiers sont cool. Comme Carl Sagan le souligne avec tant d’éloquence dans le roman Contact, il y a une certaine importance à leur statut en tant que bloc de construction le plus fondamental de tous les nombres, qui sont eux-mêmes les blocs de construction de notre compréhension de l’univers. Dans ce livre, les extraterrestres choisissent d’envoyer une longue chaîne de nombres premiers comme preuve que leur message est intelligent et non d’origine naturelle, car les nombres premiers sont une chose qui ne peut pas changer en raison de différences de psychologie, de mode de vie ou d’histoire évolutive. Peu importe ce qu’est un avancé vie extraterrestre-forme ressemble ou pense, si elle comprend le monde qui l’entoure, elle a presque certainement le concept d’un nombre premier.

C’est pourquoi beaucoup de mathématiciens considèrent la théorie des nombres comme un peu comme l’archéologie. Le sentiment n’est pas d’inventer de nouvelles technologies, mais de découvrir les fondements logiques de l’univers, ceux qui décrivent son comportement partout, à travers le temps.

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